* Interprétation de l'espérance

Exercice 1

Le groupe sanguin O négatif (aussi appelé donneur universel) représente environ 6 % de la population française.
50 personnes se présentent à un don de sang.
On note  `X`  le nombre de ces personnes qui sont du groupe O négatif.

1. On admet que  `X`  suit une loi binomiale. Donner ses paramètres.
2. Déterminer la probabilité qu'au moins deux de ces personnes soient du groupe O négatif.
3. Calculer l'espérance de  `X`  et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Exercice 2

Dans cet exercice, les probabilités calculées seront arrondies, si nécessaire, à  `10^(-3)` près.
Une entreprise produit des stylos en grande quantité. La probabilité qu'un stylo présente un défaut est de 0,1.
On prélève 10 stylos dans le stock de cette entreprise. On suppose que le nombre de stylos produits est suffisamment grand pour que cette sélection soit assimilée à des tirages indépendants et avec remise.
On note  `X` le nombre de stylos défectueux ainsi prélevés.

1. Quelle est la loi de `X`  ? On précisera ses paramètres.
2. Donner l'espérance et la variance de `X` .
3. Calculer la probabilité qu'il y ait exactement un stylo défectueux.
4. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins un stylo défectueux.
5. Calculer la probabilité qu'il y ait au plus deux stylos défectueux.

Exercice 3

Au cours de la fabrication de verres de lunettes, le verre doit subir un traitement. On estime que 10 % des verres présentent alors un défaut pour ce traitement.
On prélève, au hasard, un échantillon de 50 verres dans la production. On suppose que la production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
On note `X`  la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de ce type, associe le nombre de paires de verres qui présentent un défaut.

1. Justifier que la variable aléatoire `X`  suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
2. Donner l’expression permettant de calculer la probabilité d’avoir, dans un tel échantillon, exactement 10 paires de verres qui présentent un défaut. Effectuer ce calcul et arrondir le résultat à  `10^(-3)` .
3. En moyenne, combien de paires de verres ayant ce défaut peut-on trouver dans un échantillon de 50 paires ?